Block 5

Beschreibende Statistik

Aus vielen einzelnen Daten ein paar aussagekräftige Zahlen machen – und Diagramme richtig lesen, statt sich täuschen zu lassen.

Fragt man 25 Leute nach ihrer Schuhgröße oder schreibt eine Klasse ihre Testpunkte auf, entsteht eine lange Liste. Kennzahlen fassen sie zusammen: Wo liegt die Mitte? Wie weit streuen die Werte? Diese Übersicht zeigt die wichtigsten Kennzahlen und wie man Diagramme kritisch liest.

✎ ohne Taschenrechner machbar Oberschule · Klasse 9

Häufigkeiten und Diagramme

Der erste Schritt ist Ordnung: Wie oft kommt jeder Wert vor? Das ist die absolute Häufigkeit. Teilt man sie durch die Gesamtzahl, erhält man die relative Häufigkeit – als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent. Ein Säulendiagramm macht das sofort sichtbar.

Säulendiagramm: Anzahl Geschwister
Die Höhe jeder Säule ist die absolute Häufigkeit. Insgesamt wurden hier 24 Schüler befragt.
Absolute und relative Häufigkeit.
9 von 24 Schülern haben genau ein Geschwister. Absolute Häufigkeit: $9$.  Relative Häufigkeit: $\tfrac{9}{24}=0{,}375=37{,}5\,\%$.

Die wichtigsten Kennzahlen

1

Arithmetisches Mittel (Durchschnitt)

ohne Rechner machbar
Was es ist

Der „Durchschnitt": alle Werte zusammenzählen und gleichmäßig verteilen.

$\bar{x}=\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$
Beispiel · Werte $4,\,8,\,6,\,2,\,5$
Summe$4+8+6+2+5=25$.
Teilen$\bar{x}=\dfrac{25}{5}=\mathbf{5}$.
2

Median (Zentralwert)

ohne Rechner
Was es ist

Der Wert in der Mitte, wenn man alle Werte der Größe nach ordnet. Genau die Hälfte liegt darunter, die Hälfte darüber.

So gehst du vor
  1. Werte der Größe nach ordnen.
  2. Ungerade Anzahl → der eine mittlere Wert ist der Median.
  3. Gerade Anzahl → Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Beispiel
ungerade$3,\,4,\,\mathbf{6},\,7,\,9$  → Median $=6$.
gerade$3,\,4,\,\mathbf{6},\,\mathbf{8},\,9,\,12$  → Median $=\tfrac{6+8}{2}=7$.
3

Modalwert (häufigster Wert)

ohne Rechner
Was es ist

Der Wert, der am häufigsten vorkommt. Es kann auch mehrere geben – oder keinen, wenn alle gleich oft auftreten.

Beispiel · $2,\,3,\,3,\,4,\,3,\,5$
Die $3$ kommt dreimal vor, öfter als jeder andere Wert → Modalwert $=\mathbf{3}$.
4

Spannweite (mit Minimum und Maximum)

ohne Rechner
Was es ist

Wie weit die Werte auseinanderliegen: der größte minus der kleinste Wert.

$\text{Spannweite}=\text{Maximum}-\text{Minimum}$
Beispiel · $4,\,8,\,6,\,2,\,5$
Maximum $8$, Minimum $2$  → Spannweite $=8-2=\mathbf{6}$.

Mittelwert oder Median? – Vorsicht bei Ausreißern

Beide beschreiben „die Mitte", reagieren aber unterschiedlich auf einzelne extreme Werte, sogenannte Ausreißer. Das arithmetische Mittel wird von einem Ausreißer stark verschoben, der Median kaum.

Mittelwert und Median mit Ausreißer
Ein einziger sehr großer Wert (28) zieht das Mittel auf ≈ 6,6 hoch, obwohl fast alle Werte bei 4 liegen. Der Median bleibt bei 4.
Merke

Bei Daten mit Ausreißern (z. B. wenige sehr hohe Einkommen, ein Rekordtag) beschreibt der Median den „typischen" Wert oft besser als das Mittel.

Diagramme kritisch lesen

Ein Diagramm kann alles korrekt anzeigen und trotzdem täuschen – je nachdem, wie die Achsen gewählt sind.

Darauf achten

Beispiel: alle Kennzahlen an einer Datenreihe

Aufgabe

In einem Test (max. 10 Punkte) erreichten 9 Schüler:  $4,\;7,\;5,\;8,\;6,\;5,\;9,\;5,\;6$. Bestimme arithmetisches Mittel, Median, Modalwert und Spannweite.

Lösung – Schritt für Schritt
Ordnen.  $4,\,5,\,5,\,5,\,6,\,6,\,7,\,8,\,9$.
Mittel.  Summe $=55$, geteilt durch $9$:  $\bar{x}=\tfrac{55}{9}\approx \mathbf{6{,}11}$.
Median.  9 Werte → der 5. ist die Mitte:  $\mathbf{6}$.
Modalwert.  Die $5$ kommt dreimal vor → $\mathbf{5}$.
Spannweite.  $9-4=\mathbf{5}$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe · Wochentemperaturen (°C)

An 7 Tagen wurden gemessen:  $18,\;21,\;19,\;24,\;19,\;22,\;19$. Bestimme alle vier Kennzahlen.

Hinweise – zum Selbermachen
Ergebnisse zum Abgleich

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es