Block 3

Potenzen & Potenzfunktionen

Eine Potenz ist eine Kurzschrift für „immer wieder dasselbe multiplizieren" – praktisch überall dort, wo Zahlen sehr groß oder sehr klein werden: Speichergrößen, Entfernungen im Weltall, Bakterien, die sich verdoppeln.

Wurzeln sind der Rückweg dazu. Und ein Trick macht das ganze Thema einfacher:

Der rote Faden: Eine Wurzel ist selbst eine Potenz – nur mit einem Bruch als Exponent ($\sqrt{a}=a^{1/2}$). Deshalb reicht ein einziger Satz Regeln für Potenzen und Wurzeln zusammen.

Zum Schluss lernst du die Potenzfunktionen kennen – was passiert, wenn nicht die Hochzahl, sondern die Basis die Variable ist. Gymnasium

✎ ohne Taschenrechner machbar für BLF · Gymnasium Oberschule · Klasse 9

Potenzen & die Potenzgesetze

ohne Rechner

Aufbau einer Potenz. $a^n$ bedeutet: die Basis $a$ wird $n$-mal mit sich selbst multipliziert. Das $n$ heißt Exponent. Beispiel: $2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$.

Die vier Potenzgesetze

1 · gleiche Basis, mal$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$2^3\cdot2^2=2^5$

2 · gleiche Basis, geteilt$a^m:a^n=a^{m-n}$$2^5:2^2=2^3$

3 · Potenz einer Potenz$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$$(2^3)^2=2^6$

4 · gleicher Exponent$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$$2^3\cdot5^3=10^3$

Warum addieren sich bei Regel 1 die Exponenten?

$2^3$ sind drei Zweien, $2^2$ sind zwei Zweien – aneinandergehängt sind es fünf Zweien:

222 · 22 = 22222 = $2^{3+2}=2^5$

Null- und negative Exponenten

ohne Rechner

Zwei Sonderfälle – und woher sie kommen

$a^0=1$ (für $a\ne0$). Warum? Nach Regel 2 ist $a^n:a^n=a^{n-n}=a^0$ – und etwas durch sich selbst geteilt ist $1$. Also muss $a^0=1$ sein.

$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$. Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert, keine negative Zahl. Beispiel: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$.

Zehnerpotenzen & wissenschaftliche Schreibweise

Sehr große und sehr kleine Zahlen kompakt

Man schreibt die Zahl als eine Ziffer vor dem Komma mal einer Zehnerpotenz: $a\cdot10^{k}$ mit $1\le a<10$. Das Vorzeichen von $k$ sagt, in welche Richtung das Komma wandert.

$47000=4{,}7\cdot10^{4} \qquad\qquad 0{,}00052=5{,}2\cdot10^{-4}$

Beispiel · Rechnen damit (Potenzgesetz 1)

$(3\cdot10^5)\cdot(2\cdot10^3)=(3\cdot2)\cdot10^{5+3}=6\cdot10^{8}$.

Die Vorzahlen malnehmen, die Zehnerpotenzen nach Regel 1 zusammenfassen.

Wurzeln

Was ist eine Wurzel?

$\sqrt{a}$ ist die (nicht-negative) Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt. $\sqrt{9}=3$, weil $3^2=9$.

Und der rote Faden: $\sqrt{a}=a^{1/2}$, allgemein $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$. Weil eine Wurzel eine Potenz ist, gelten für sie dieselben Regeln.

Einheitsquadrat mit Diagonale der Länge Wurzel 2 — $\sqrt{2}$ ist die Diagonale im Einheitsquadrat: $1^2+1^2=(\sqrt2)^2$.

Wurzelgesetze & teilweise Wurzelziehen

Produkt$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}=4$

Quotient$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt9=3$

Teilweise Wurzelziehen – den größten Quadratzahl-Faktor herausziehen:

$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3 \qquad\qquad \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$

Steht eine Wurzel im Nenner, kann man sie durch Erweitern „rationalmachen": $\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Potenzfunktionen

für BLF · Gymnasium

Setzt man in eine Potenz nicht eine feste Zahl, sondern eine Variable als Basis ein, entsteht eine Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^{n}$. Ihr Graph hängt vor allem davon ab, ob die Hochzahl $n$ gerade oder ungerade ist.

Gerade oder ungerade Hochzahl

Gerade $n$ ($x^2, x^4, \ldots$): Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse – beide Äste zeigen (für $a>0$) nach oben. Es gilt $f(-x)=f(x)$.
Ungerade $n$ ($x^3, x^5, \ldots$): Graph punktsymmetrisch zum Ursprung – ein Ast oben, einer unten. Es gilt $f(-x)=-f(x)$.
Alle gehen durch $(0\,|\,0)$, $(1\,|\,a)$ und $(-1\,|\,\pm a)$. Größeres $n$ macht die Kurve in der Mitte flacher und außen steiler.

Potenzfunktionen x, x hoch 2, x hoch 3, x hoch 4 — Gerade Hochzahl → symmetrisch zur $y$-Achse, ungerade Hochzahl → symmetrisch zum Ursprung.

Funktionswert berechnen

$x$ einsetzen, die Potenz ausrechnen (Vorzeichen beachten!), mit $a$ multiplizieren. Beispiel $f(x)=2x^3$: $f(-2)=2\cdot(-2)^3=2\cdot(-8)=-16$.

Ausblick: Auch negative Hochzahlen ergeben Potenzfunktionen – z. B. $f(x)=x^{-1}=\tfrac{1}{x}$, deren Graph eine Hyperbel ist.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Vereinfache $\dfrac{a^6\cdot a^{-2}}{a^{3}}$ und schreibe das Ergebnis ohne negativen Exponenten.

Hinweise – ohne fertige Lösung

Oben zuerst Regel 1 anwenden (Exponenten addieren – aufpassen, einer ist negativ).
Dann Regel 2 für das Teilen (Exponenten subtrahieren).
Kommt ein negativer Exponent heraus, mit dem Kehrwert positiv schreiben.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

$3^4\cdot3^{-2}$
$(x^3)^2\cdot x$
$\sqrt{72}$ so weit wie möglich vereinfachen
$0{,}00047$ in wissenschaftlicher Schreibweise

Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

a) $3^{4-2}=3^2=9$.
b) $x^{6}\cdot x=x^{7}$.
c) $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$.
d) $0{,}00047=4{,}7\cdot10^{-4}$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Bei Regel 1 werden die Exponenten addiert, nicht multipliziert: $2^3\cdot2^2=2^5$ (nicht $2^6$).
Die Regeln 1 und 2 gelten nur bei gleicher Basis, Regel 4 nur bei gleichem Exponenten. $2^3\cdot3^2$ lässt sich nicht zusammenfassen.
$a^0=1$ (nicht $0$), und $a^{-n}$ ist ein Kehrwert: $2^{-2}=\tfrac14$ (nicht $-4$).
Die Wurzel aus einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, nicht $3+4$.
Minus und Potenz: $-2^2=-4$ (nur die $2$ ist quadriert), aber $(-2)^2=4$ – auf die Klammer achten.
🟩 Oberschule: Formelsammlung nutzen – die Potenz- und Wurzelgesetze stehen dort.