Block 2
Quadratische Funktionen & Gleichungen
Mit einer quadratischen Funktion beschreibt man alles, was einen Bogen macht: die Flugbahn eines Balls, den Strahl eines Springbrunnens, einen Brückenbogen.
Aus ihrer Gleichung kann man rechnerisch den höchsten oder tiefsten Punkt bestimmen, die Stellen, an denen die Kurve den Boden trifft, und ihre genaue Form. Es gibt dazu immer wieder dieselben fünf Aufgabentypen – die gehen wir hier der Reihe nach durch. Vieles davon – das Ablesen und einfache Nullstellen – geht sogar ohne Taschenrechner.
Wichtige Formeln
Eine Parabel kann man auf drei Arten aufschreiben. Das klingt nach dreifacher Arbeit, ist aber ein Vorteil: Je nachdem, welche Form dasteht, kann man einen Teil ohne Rechnen ablesen.
- y-Achsenabschnitt $=c$. Setzt man $x=0$ ein, werden $ax^2$ und $bx$ beide $0$ – übrig bleibt $c$. Deshalb schneidet die Parabel die y-Achse immer bei $c$.
- Scheitel aus der Scheitelform. In $a(x-d)^2+e$ ist die Klammer am kleinsten, wenn $x=d$ ist (dann steht $0$ in der Klammer). Genau dort liegt der Scheitel: $S(d\,|\,e)$. Vorsicht: In $(x-3)$ steht ein Minus, die Verschiebung geht trotzdem nach rechts – $d=+3$.
Das $a$ steht in jeder Form vorne und bestimmt die Form der Parabel: $a>0$ öffnet nach oben, $a<0$ nach unten; ist $|a|$ groß, wird sie schmal, ist $|a|$ klein, wird sie breit. So wirken sich die Zahlen aus:
Die allgemeine Form ist $ax^2+bx+c$ – hier darf vor dem $x^2$ jede Zahl stehen.
Die Normalform ist der Spezialfall, bei dem vorne genau $x^2$ steht (also $a=1$): $x^2+px+q$. Nur diese Form braucht die pq-Formel.
Die pq-Formel löst Gleichungen der Normalform $x^2+px+q=0$:
Steht vorne kein reines $x^2$, also $ax^2+bx+c=0$ mit $a\ne1$? Dann teile die ganze Gleichung durch $a$. Danach ist $p$ die Zahl vor dem $x$ und $q$ die Zahl hinten.
$x=-2\pm\sqrt{4-3}=-2\pm1 \;\Rightarrow\; x_1=-1,\;\; x_2=-3.$
Wer nicht teilen möchte, nimmt die Lösungsformel (auch Mitternachtsformel oder abc-Formel genannt). Sie rechnet direkt mit $a$, $b$ und $c$ aus der allgemeinen Form:
Dieselbe Aufgabe mit $a=2,\,b=8,\,c=6$: $x=\dfrac{-8\pm\sqrt{64-48}}{4}=\dfrac{-8\pm4}{4}\Rightarrow x_1=-1,\;x_2=-3$. Gleiches Ergebnis – du kannst frei wählen.
🟩 An der Oberschule stehen beide Formeln in der Formelsammlung – du musst sie nicht auswendig können.
Beispiel: die Wurfparabel
Bevor wir die Typen einzeln üben, eine Beispielaufgabe, an der man sieht, wozu die Werkzeuge da sind.
Ein Ball fliegt entlang der Bahn $h(x)=-0{,}25\,x^2+2x+1$ ($x$ = Entfernung in m, $h$ = Höhe in m).
- Wie hoch über dem Boden startet der Ball?
- Wie hoch fliegt er maximal, und in welcher Entfernung?
- Nach welcher Entfernung landet er auf dem Boden?
- In $6\,\text{m}$ steht eine $4\,\text{m}$ hohe Wand. Fliegt der Ball darüber?
Der Start ist bei $x=0$. Dort bleibt von der Gleichung nur die hintere Zahl $c$ übrig: $h(0)=1$. → Der Ball startet in $1\,\text{m}$ Höhe.
Der höchste Punkt liegt in der Mitte der Parabel. Seine x-Stelle findet man mit der Formel $x_S=-\dfrac{b}{2a}$. Hier ist $a=-0{,}25$ und $b=2$:
$x_S=-\dfrac{2}{2\cdot(-0{,}25)}=-\dfrac{2}{-0{,}5}=4.$ Diesen Wert wieder einsetzen: $h(4)=-0{,}25\cdot16+8+1=5.$
→ Der Ball ist maximal $5\,\text{m}$ hoch, und zwar nach $4\,\text{m}$.
$-0{,}25x^2+2x+1=0$. Damit die pq-Formel passt, erst durch $-0{,}25$ teilen (bequemer: $\cdot(-4)$): $\;x^2-8x-4=0$, also $p=-8,\;q=-4$.
$x=4\pm\sqrt{16+4}=4\pm\sqrt{20}\approx4\pm4{,}47$. Das ergibt $x\approx8{,}47$ oder $x\approx-0{,}47$.
Eine negative Entfernung gibt es nicht → sie fällt weg. Der Ball landet nach ca. $8{,}5\,\text{m}$.
Einfach $x=6$ einsetzen: $h(6)=-0{,}25\cdot36+12+1=4$. → Der Ball ist dort genau $4\,\text{m}$ hoch und streift die Oberkante – er kommt gerade nicht darüber.
Diese eine Aufgabe hat schon vier Dinge benutzt: ablesen, den Scheitel bestimmen, Nullstellen berechnen, einen Wert einsetzen. Jetzt üben wir die fünf Typen einzeln.
Die fünf Aufgabentypen
Scheitelpunkt bestimmen
Fragen wie „Bestimme den Scheitelpunkt", „höchster/tiefster Punkt", „Extremwert". Gegeben ist meist die allgemeine Form $ax^2+bx+c$.
- Lies $a$ und $b$ aus $ax^2+bx+c$ ab.
- Berechne die x-Stelle des Scheitels: $x_S=-\dfrac{b}{2a}$.
- Setze $x_S$ in die Funktion ein → das ist die y-Koordinate. Scheitel $S(x_S\,|\,y_S)$.
Brauchst du zusätzlich die ganze Scheitelform $a(x-d)^2+e$, formst du mit quadratischer Ergänzung um: $x^2-6x+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$.
Nullstellen bestimmen
Signalwörter: „Nullstellen", „Schnittpunkte mit der x-Achse", „$f(x)=0$". Wichtig: nicht sofort die pq-Formel – erst kurz hinschauen, oft geht es schneller.
- Bringe die Gleichung auf die Form $\;\ldots=0$.
- Schau, welcher Fall vorliegt, und wähle die Methode:
• kein $c$ ($ax^2+bx=0$) → ausklammern
• kein $bx$ ($ax^2+c=0$) → Wurzel ziehen
• alles da → pq- oder Lösungsformel - Löse und schreibe die Nullstellen hin.
Graph ↔ Gleichung ablesen
- Ein Graph ist gezeichnet, die Gleichung ist gesucht (oder umgekehrt).
- „Welche Gleichung passt?" – am Gymnasium oft als Ankreuzaufgabe (Multiple-Choice).
- Lies den Scheitel $S(d\,|\,e)$ aus dem Bild ab → Ansatz $f(x)=a(x-d)^2+e$.
- Lies einen zweiten Punkt ab und setze ihn ein.
- Löse nach $a$ auf und schreibe die fertige Gleichung.
Funktionsgleichung aufstellen
„Bestimme die Gleichung der Parabel, die …". Welche Form du ansetzt, hängt davon ab, was gegeben ist.
- Schau, was gegeben ist, und wähle die Form: Scheitel + Punkt → Scheitelform; 2 Nullstellen + Punkt → Nullstellenform.
- Schreibe den Ansatz mit den bekannten Werten hin ($a$ bleibt zunächst offen).
- Setze den zusätzlichen Punkt ein und berechne $a$.
Schnittpunkt Parabel & Gerade
Zwei Funktionen sind gegeben, gesucht ist ihr Schnittpunkt. Auch versteckt: „Wo trifft der Ball die Rampe / den Hang?"
- Setze beide Funktionen gleich: $f(x)=g(x)$.
- Bringe alles auf eine Seite und löse die quadratische Gleichung (x-Werte).
- Setze die x-Werte in die einfachere Gleichung ein → y-Werte. Schnittpunkte hinschreiben.
Übung mit Hinweisen
Ein Brückenbogen wird durch $f(x)=-0{,}08\,(x-10)^2+8$ beschrieben ($x$ und $f(x)$ in m, $x=0$ am linken Fuß).
- Wie hoch ist der Bogen an der höchsten Stelle, und wo liegt sie?
- Welche Höhe hat er $5\,\text{m}$ vom linken Fuß entfernt?
- An welchen Stellen ist der Bogen genau $6\,\text{m}$ hoch?
- Gymnasium Gib die Funktion in der allgemeinen Form an.
- a) Steht schon in Scheitelform – den Scheitel direkt ablesen.
- b) $x=5$ einsetzen und ausrechnen.
- c) $f(x)=6$ setzen, nach $(x-10)^2$ auflösen, dann die Wurzel ziehen – das gibt zwei Stellen.
- d) Scheitelform ausmultiplizieren; die $+8$ verrechnet sich mit der Klammer.
Übung mit Lösungen zum Abgleich
- Nullstellen
- Scheitelpunkt
- y-Achsenabschnitt
- Schnittpunkte mit $g(x)=-x+3$
- a) $x^2-4x+3=0$, pq mit $p=-4,\,q=3$ → $N_1(1\,|\,0)$, $N_2(3\,|\,0)$.
- b) $x_S=-\dfrac{-4}{2}=2$, $f(2)=-1$ → $S(2\,|\,-1)$.
- c) $c=3$ → $(0\,|\,3)$.
- d) gleichsetzen → $x^2-3x=0$ → Schnittpunkte $(0\,|\,3)$ und $(3\,|\,0)$.
Typische Stolperfallen
- Die pq-Formel passt nur, wenn vorne genau $x^2$ steht. Bei $ax^2+\ldots$ zuerst durch $a$ teilen (oder die Lösungsformel nehmen).
- $p$ und $q$ mit ihrem Vorzeichen einsetzen – die meisten Fehler stecken im $-\tfrac{p}{2}$.
- Bei Nullstellen erst schauen, ob $b$ oder $c$ fehlt – oft geht es ohne Formel schneller.
- Scheitel-Vorzeichen: $a(x-3)^2$ heißt Verschiebung nach rechts, also $d=+3$. Das Vorzeichen dreht sich.
- Bei der quadratischen Ergänzung die addierte Zahl auch wieder abziehen.
- Im Sachkontext (Entfernung, Zeit) negative Ergebnisse prüfen und begründet weglassen.
- 🟩 Oberschule: Formelsammlung nutzen – pq und Lösungsformel stehen drin.
- 🟦 Gymnasium: beim Ankreuzen durch Ausschließen arbeiten; CAS zum Gegenchecken, den Ansatz aufs Blatt.