Block 1

Rechtwinklige Dreiecke

Mit zwei Werkzeugen berechnet man Längen und Winkel, die man nicht direkt messen kann – wie hoch eine Leiter reicht, wie steil ein Dach ist, wie lang eine Rampe wird.

Schwierig ist dabei nicht das Rechnen, sondern die Entscheidung: Was ist gegeben, was gesucht – und welches der beiden Werkzeuge gehört dazu? Genau das ordnet der Baum hier; danach schauen wir uns die Werkzeuge einzeln an.

Im rechtwinkligen Dreieck rechnen

Ist ein Winkel im Spiel – gegeben oder gesucht?

Nur Seiten

Zwei Seiten bekannt, dritte gesucht▾

Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$

Mit einem Winkel

Eine Seite gesucht (Winkel gegeben)▾

Sinus · Kosinus · Tangens

Ein Winkel gesucht (zwei Seiten gegeben)▾

Umkehrfunktion $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$

Fast jede Aufgabe hängt an der obersten Frage. Kommt kein Winkel vor, ist es der Pythagoras. Sobald ein Winkel gegeben oder gesucht ist, brauchst du eine der drei Winkelfunktionen. Beide Werkzeuge schauen wir uns jetzt der Reihe nach an.

✎ ohne Taschenrechner machbar Oberschule · Klasse 9

Grundlage: das rechtwinklige Dreieck

Bevor die Werkzeuge kommen, müssen die Seiten einen Namen haben – das ist die Grundlage, um überhaupt richtig rechnen zu können.

Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse und zwei Katheten — Für den Pythagoras: die feste Benennung.

Die Hypotenuse ist die längste Seite. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel – das kleine Kästchen zeigt ihn an.

Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Im Satz des Pythagoras sind das $a$ und $b$, die Hypotenuse ist $c$.

Sobald ein Winkel ins Spiel kommt, bekommen die beiden Katheten zusätzlich Namen – aber relativ zu diesem Winkel $\alpha$:

Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber.
Die Ankathete liegt direkt am Winkel an (die Kathete, nicht die Hypotenuse).

Wichtig: Schaust du auf den anderen spitzen Winkel, tauschen Gegen- und Ankathete die Rollen. Deshalb immer zuerst den Winkel markieren, dann benennen.

Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse relativ zum Winkel alpha — Für Sinus/Kosinus/Tangens: alles relativ zum Winkel $\alpha$.

Satz des Pythagoras

oft ohne Rechner

Wann?

Rechtwinkliges Dreieck, und es geht nur um Seitenlängen (kein Winkel). Verbindet die drei Seiten:

$$a^2+b^2=c^2 \qquad (c=\text{Hypotenuse})$$

So gehst du vor

Finde die Hypotenuse $c$ (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel).
Setze die bekannten Seiten in $a^2+b^2=c^2$ ein.
Nach der gesuchten Seite umstellen und die Wurzel ziehen.

Beispiel A · Hypotenuse gesucht, Katheten $3$ und $4$

Schritt 1Gesucht ist $c$ (die Hypotenuse).

Schritt 2$3^2+4^2=c^2$.

Schritt 3$c^2=9+16=25 \Rightarrow c=\sqrt{25}=5$.

Beispiel B · Kathete gesucht, Hypotenuse $13$, Kathete $5$

Schritt 1Die $13$ ist die Hypotenuse $c$, gesucht ist die Kathete $b$.

Schritt 2$5^2+b^2=13^2$.

Schritt 3$b^2=169-25=144 \Rightarrow b=\sqrt{144}=12$.

✎ Ein paar Zahlentripel lohnt es sich zu kennen, dann geht der Pythagoras ohne Rechner: $3\,{-}\,4\,{-}\,5$, $5\,{-}\,12\,{-}\,13$, $8\,{-}\,15\,{-}\,17$.

Rückwärts gedacht: Ist das Dreieck rechtwinklig?

Der Satz des Pythagoras gilt auch in die andere Richtung – das ist seine Umkehrung: Wenn in einem Dreieck $a^2+b^2=c^2$ gilt (mit $c$ als längster Seite), dann ist das Dreieck rechtwinklig. Gilt die Gleichung nicht, ist es nicht rechtwinklig. So kann man aus drei Seitenlängen allein entscheiden, ob ein rechter Winkel vorliegt.

So prüfst du es

Die längste Seite ist der Kandidat für die Hypotenuse $c$.
$a^2+b^2$ und $c^2$ getrennt ausrechnen.
Beide gleich → rechtwinklig. Ungleich → nicht rechtwinklig.

Beispiel · Seiten $6,\,8,\,10$

rechnen$6^2+8^2=36+64=100$ und $10^2=100$.

vergleichen$100=100$ → das Dreieck ist rechtwinklig.

Sinus, Kosinus & Tangens

Wann?

Rechtwinkliges Dreieck, aber jetzt ist ein Winkel beteiligt – gegeben oder gesucht. Die drei Funktionen verbinden einen Winkel mit einem Seitenverhältnis:

$$\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\qquad \cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\qquad \tan\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$

So gehst du vor · eine Seite ist gesucht (Winkel + eine Seite gegeben)

Winkel markieren, Seiten relativ dazu benennen (Gegen-, Ankathete, Hypotenuse).
Die Funktion wählen, in der die gegebene und die gesuchte Seite vorkommen.
Nach der gesuchten Seite umstellen und ausrechnen.

Beispiel · $\alpha=37°$, Hypotenuse $=10$, Gegenkathete gesucht

Schritt 1gegeben: Hypotenuse; gesucht: Gegenkathete.

Schritt 2Gegenkathete & Hypotenuse → das ist der Sinus: $\sin 37°=\dfrac{\text{Gegen}}{10}$.

Schritt 3$\text{Gegen}=10\cdot\sin 37°\approx 6{,}0$.

So gehst du vor · ein Winkel ist gesucht (zwei Seiten gegeben)

Die zwei gegebenen Seiten relativ zum gesuchten Winkel benennen.
Die passende Funktion wählen (welche zwei Seiten hast du?).
Mit der Umkehrfunktion ($\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$) den Winkel bestimmen.

Beispiel · Gegenkathete $=3$, Ankathete $=4$, Winkel gesucht

Schritt 1gegeben: Gegen- und Ankathete.

Schritt 2Gegen & An → das ist der Tangens: $\tan\alpha=\dfrac{3}{4}=0{,}75$.

Schritt 3$\alpha=\tan^{-1}(0{,}75)\approx 36{,}9°$.

Beispiel: die Leiter an der Wand

Aufgabe

Eine $5\,\text{m}$ lange Leiter steht $3\,\text{m}$ von der Wand entfernt.

Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?
Welchen Winkel bildet sie mit dem Boden?
Empfohlen sind etwa $70°$. Steht die Leiter gut?

Lösung

a) Höhe an der Wand. Wand, Boden und Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck; es geht nur um Seiten → Pythagoras. Die Leiter ist die Hypotenuse ($5$), der Bodenabstand eine Kathete ($3$), die Höhe die gesuchte Kathete:
$\text{Höhe}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\,\text{m}.$

b) Winkel mit dem Boden. Jetzt ist ein Winkel gesucht → Winkelfunktion. Am Boden kennen wir die Ankathete ($3$) und die Hypotenuse ($5$) → Kosinus:
$\cos\alpha=\dfrac{3}{5}=0{,}6 \Rightarrow \alpha=\cos^{-1}(0{,}6)\approx 53°.$

c) Bewertung. $53°$ ist deutlich flacher als die empfohlenen $70°$ – die Leiter steht zu weit von der Wand weg und sollte näher heran.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe · die Turmhöhe

Von einem Punkt $40\,\text{m}$ vor dem Fuß eines Turms sieht man die Spitze unter einem Höhenwinkel von $32°$.

Skizziere die Situation als rechtwinkliges Dreieck.
Wie hoch ist der Turm?

Hinweise – ohne fertige Lösung

Der Boden ist die Ankathete ($40\,\text{m}$), die Turmhöhe die Gegenkathete (gesucht), der Winkel sitzt beim Beobachter.
Gegen- und Ankathete zusammen → welche Funktion ist das? Danach nach der Höhe umstellen.
Rechner auf Grad stellen.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgabe · rechtwinkliges Dreieck mit Katheten $a=6$ und $b=8$

Länge der Hypotenuse $c$
Winkel $\alpha$ gegenüber der Seite $a$
Winkel $\beta$ gegenüber der Seite $b$

Ergebnisse (Ansatz, ohne Zwischenschritte)

a) Pythagoras: $c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.
b) $\tan\alpha=\dfrac{6}{8}=0{,}75 \Rightarrow \alpha\approx 36{,}9°$.
c) $\beta=90°-36{,}9°=53{,}1°$ (die spitzen Winkel ergänzen sich zu $90°$).

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Der Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck – er braucht den rechten Winkel.
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber – sie ist im Pythagoras immer das $c$.
Gegen- und Ankathete hängen vom Winkel ab. Beim anderen spitzen Winkel vertauschen sie sich – erst markieren, dann benennen.
Rechner auf Grad (DEG), nicht RAD.
Winkel gesucht → Umkehrfunktion $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ benutzen, nicht $\sin,\cos,\tan$.
Beim Umstellen aufpassen, ob die gesuchte Größe oben oder unten im Bruch steht.
🟩 Oberschule: Formelsammlung nutzen – die Sätze und Formeln stehen dort.