Block 5

Zufällige Ereignisse

Wie wahrscheinlich ist ein Ergebnis? Vom Zählen der Möglichkeiten bis zum Baumdiagramm.

Beim Würfeln, Münzwerfen oder Losziehen steht das Ergebnis nicht fest – es ist zufällig. Trotzdem kann man ausrechnen, wie wahrscheinlich etwas ist. Der Schlüssel ist einfaches Zählen: günstige Ergebnisse im Verhältnis zu allen möglichen.

✎ oft ohne Taschenrechner Oberschule · Klasse 8
1

Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignis

Ein Zufallsexperiment hat mehrere mögliche Ausgänge. Ein einzelner Ausgang heißt Ergebnis.
Alle möglichen Ergebnisse zusammen bilden den Ergebnisraum $\Omega$; ihre Anzahl ist die Mächtigkeit $|\Omega|$.
Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen (z. B. „gerade Zahl").
Beispiel · ein Würfel
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, also $|\Omega|=6$.
Ereignis $E$ = „gerade Zahl" $=\{2,4,6\}$.
2

Relative Häufigkeit

Führt man ein Experiment $n$-mal durch und tritt ein Ergebnis $k$-mal auf, ist die relative Häufigkeit $\tfrac{k}{n}$ (als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent). Je größer $n$, desto näher liegt sie an der Wahrscheinlichkeit (Gesetz der großen Zahlen).

Beispiel
Bei 100 Würfen fällt 17-mal die 3 → relative Häufigkeit $=\tfrac{17}{100}=0{,}17=17\,\%$.
3

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich (Laplace-Experiment), gilt:

$P(E)=\dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$
Wahrscheinlichkeits-Skala von 0 bis 1
Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
Beispiel · ein Würfel
$P(\text{gerade})=\tfrac{3}{6}=\tfrac12=0{,}5$.
$P(\text{Augenzahl} \ge 5)=\tfrac{2}{6}=\tfrac13\approx 0{,}33$.
4

Das Gegenereignis

Das Gegenereignis $\bar E$ tritt genau dann ein, wenn $E$ nicht eintritt. Ihre Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich zu 1:

$P(\bar E)=1-P(E)$
Beispiel
$P(\text{keine 6})=1-\tfrac16=\tfrac56\approx 0{,}83$.  Oft ist der Umweg über das Gegenereignis viel kürzer.

Mehrstufige Experimente: das Baumdiagramm

Wird mehrmals hintereinander gezogen oder geworfen, hilft ein Baumdiagramm: Jeder Pfad von links nach rechts ist ein Ergebnis. So sieht man alle Möglichkeiten und ihre Anzahl.

Zweistufiges Baumdiagramm Münzwurf
Zwei Münzwürfe: vier Pfade $\{KK,KZ,ZK,ZZ\}$.
Die Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang seiner Äste. Beispiel: $P(KK)=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14=0{,}25$.

Leitaufgabe: die Lostrommel

Aufgabe

In einer Urne liegen 3 rote, 2 grüne und 5 blaue Kugeln. Es wird gezogen.

  1. Wie groß ist $P(\text{rot})$?
  2. Wie groß ist $P(\text{nicht rot})$?
  3. Man zieht zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist $P(\text{zweimal rot})$?
Lösung (insgesamt 10 Kugeln)
1$P(\text{rot})=\tfrac{3}{10}=0{,}3$.
2Gegenereignis: $P(\text{nicht rot})=1-0{,}3=0{,}7$.
3Pfadregel (mit Zurücklegen bleibt es $0{,}3$): $0{,}3\cdot 0{,}3=\mathbf{0{,}09}$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder: 3 rote, 1 blaues, 4 gelbe. Bestimme $P(\text{rot})$, $P(\text{nicht gelb})$ und die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Drehungen zweimal Gelb zu erhalten.

Hinweise

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben
  1. Würfel: $P(\text{Augenzahl} \le 2)$ als Dezimalzahl.
  2. Bei 200 Würfen fällt 46-mal die 6. Relative Häufigkeit in Prozent.
  3. Münze dreimal: Wie viele Ergebnisse hat der Ergebnisraum?
Ergebnisse

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es