Block 4

Ähnlichkeit

Gleiche Form, andere Größe: Figuren vergrößern und verkleinern – und damit Höhen und Entfernungen berechnen, die man nicht messen kann.

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben: gleiche Winkel, und alle Seiten im selben Verhältnis. Dieser Baustein steckt in Landkarten, Bauplänen und in cleveren Messtricks. Wir gehen von der zentrischen Streckung über die Strahlensätze bis zum Maßstab.

✎ mit Formelsammlung Oberschule · Klasse 8

Zentrische Streckung

Von einem festen Punkt $Z$ (dem Streckzentrum) aus wird jede Strecke mit dem Streckfaktor $k$ vervielfacht: $k>1$ vergrößert, $0Winkel bleiben gleich – Bild und Original sind ähnlich.

Wie ändern sich Länge, Umfang, Fläche?

Jede Länge und der Umfang werden mit $k$ multipliziert.
Der Flächeninhalt wird mit $k^2$ multipliziert (zweimal gestreckt).

Die Strahlensätze

Werden zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt $Z$ von zwei parallelen Geraden geschnitten, entstehen ähnliche Dreiecke – und gleiche Streckenverhältnisse:

Erster Strahlensatz: die Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die auf dem anderen.

$\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}=\dfrac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}$

Beispiel · gesuchte Strecke

Gegeben: $\overline{ZA}=3$, $\overline{ZA'}=5$, $\overline{ZB}=6$. Gesucht: $\overline{ZB'}$.

Ansatz$\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{\overline{ZB'}}$

Auflösen$\overline{ZB'}=\dfrac{6\cdot 5}{3}=\mathbf{10}$.

Maßstab

Karten und Pläne

Ein Maßstab $1:n$ bedeutet: 1 Längeneinheit im Bild entspricht $n$ Einheiten in Wirklichkeit.

Echte Länge = Kartenlänge $\times\, n$.
Kartenlänge = echte Länge $:\, n$.
Beispiel: Maßstab $1:1000$, auf der Karte $4\ \text{cm}$ → in Wirklichkeit $4\cdot 1000=4000\ \text{cm}=40\ \text{m}$.

Leitaufgabe: Baumhöhe mit der Schattenmethode

Aufgabe

Ein $1{,}50\ \text{m}$ langer Stab wirft einen $2\ \text{m}$ langen Schatten. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum einen $8\ \text{m}$ langen Schatten. Wie hoch ist der Baum?

Lösung

IdeeStab & Schatten und Baum & Schatten bilden ähnliche rechtwinklige Dreiecke (gleicher Sonnenstand → gleiche Winkel).

Ansatz$\dfrac{\text{Höhe Baum}}{\text{Schatten Baum}}=\dfrac{\text{Höhe Stab}}{\text{Schatten Stab}}$, also $\dfrac{h}{8}=\dfrac{1{,}5}{2}$.

Auflösen$h=\dfrac{1{,}5\cdot 8}{2}=\mathbf{6\ \text{m}}$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Ein Dreieck mit dem Umfang $12\ \text{cm}$ und dem Flächeninhalt $6\ \text{cm}^2$ wird mit $k=3$ zentrisch gestreckt. Bestimme Umfang und Fläche des Bildes.

Hinweise

Umfang wird mit $k$ multipliziert.
Fläche wird mit $k^2$ multipliziert – also mit $9$.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Strahlensatz: $\overline{ZA}=4$, $\overline{ZA'}=10$, $\overline{ZB}=6$. Bestimme $\overline{ZB'}$.
Maßstab $1:25\,000$: auf der Karte $6\ \text{cm}$. Wie viele km sind das?
Ein Quadrat mit Seite $5\ \text{cm}$ wird mit $k=0{,}5$ gestreckt. Neue Fläche?

Ergebnisse

a) $\overline{ZB'}=\frac{6\cdot 10}{4}=15$.
b) $6\cdot 25\,000=150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$.
c) Ursprung $25\ \text{cm}^2$, mal $k^2=0{,}25$ → $6{,}25\ \text{cm}^2$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Fläche mit $k$ statt $k^2$ gestreckt – der häufigste Fehler. Länge $\cdot k$, Fläche $\cdot k^2$.
Beim Strahlensatz einander entsprechende Strecken ins Verhältnis setzen (nicht durcheinander).
Beim Maßstab auf die Einheiten achten: das Ergebnis kommt in cm heraus – oft in m oder km umrechnen.
$k<1$ heißt verkleinern (nicht negativ verwechseln).