Block 3

Kreis & Kreiszylinder

Alles rund ums Runde: Umfang und Fläche des Kreises, Kreisausschnitte und der Zylinder – der Kreis „in die Höhe gezogen".

Sobald etwas rund ist – ein Rad, eine Dose, ein Rohr – kommt die Kreiszahl $\pi\approx 3{,}14$ ins Spiel. Wir bauen es von der Kreislinie über den Kreisausschnitt bis zum Kreiszylinder auf.

✎ mit Formelsammlung Oberschule · Klasse 8

Der Kreis: Umfang und Fläche

Kreis mit Radius und Durchmesser — Der Radius $r$ reicht vom Mittelpunkt zum Rand, der Durchmesser $d=2r$ ganz hindurch.

$U = 2\cdot\pi\cdot r = \pi\cdot d \qquad\qquad A = \pi\cdot r^2$

Beispiel · $r=5\ \text{cm}$

Umfang$U=2\cdot\pi\cdot 5 \approx \mathbf{31{,}42\ \text{cm}}$.

Fläche$A=\pi\cdot 5^2 \approx \mathbf{78{,}54\ \text{cm}^2}$.

Der Kreissektor (Kreisausschnitt)

Ein „Tortenstück" mit Mittelpunktswinkel $\alpha$ ist der Bruchteil $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ des ganzen Kreises. Also nimmt man von Umfang bzw. Fläche genau diesen Anteil:

$b = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \qquad\qquad A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$

Beispiel · $r=6$, $\alpha=90^\circ$ (ein Viertelkreis)

Bogen$b=\tfrac{90}{360}\cdot 2\pi\cdot 6 \approx \mathbf{9{,}42}$.

Fläche$A=\tfrac{90}{360}\cdot \pi\cdot 6^2 \approx \mathbf{28{,}27}$.

Der Kreiszylinder

Zieht man einen Kreis in die Höhe, entsteht ein Zylinder. Sein Netz zeigt, woraus die Oberfläche besteht: zwei Kreise (Grund- und Deckfläche) und ein Rechteck (der Mantel). Die Breite des Rechtecks ist genau der Kreisumfang.

Netz eines Kreiszylinders — Mantel = aufgerolltes Rechteck mit Breite $2\pi r$ und Höhe $h$; dazu zwei Grundkreise.

$V = \pi r^2 \cdot h \qquad M = 2\pi r\cdot h \qquad O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r+h)$

Beispiel · $r=4$, $h=10$

Volumen$V=\pi\cdot 4^2\cdot 10 \approx \mathbf{502{,}65}$.

Mantel$M=2\pi\cdot 4\cdot 10 \approx \mathbf{251{,}33}$.

Oberfläche$O=2\pi\cdot 4\cdot(4+10) \approx \mathbf{351{,}86}$.

Rückwärts rechnen

r oder h gesucht

Ist das Volumen und $h$ gegeben, folgt $r=\sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}$.
Ist die Mantelfläche und $r$ gegeben, folgt $h=\dfrac{M}{2\pi r}$.
Ist der Umfang gegeben, folgt $r=\dfrac{U}{2\pi}$.

Leitaufgabe: die Regentonne

Aufgabe

Eine zylindrische Regentonne hat einen Durchmesser von 60 cm und eine Höhe von 100 cm. Berechne Grundfläche, Fassungsvermögen (in Litern) und die Mantelfläche für einen Anstrich.

Lösung (r = 0,3 m, h = 1 m)

Grundfläche$A=\pi\cdot 0{,}3^2 \approx 0{,}28\ \text{m}^2$.

Volumen$V=A\cdot h \approx 0{,}28\ \text{m}^3 = \mathbf{282{,}7\ \text{Liter}}$ (1 m³ = 1000 L).

Mantel$M=2\pi\cdot 0{,}3\cdot 1 \approx \mathbf{1{,}88\ \text{m}^2}$ Anstrichfläche.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Eine Konservendose hat den Radius $r=4\ \text{cm}$ und die Höhe $h=11\ \text{cm}$. Berechne Volumen und Oberfläche.

Hinweise

Volumen: Grundfläche $\pi r^2$ mal Höhe $h$.
Oberfläche: zwei Kreise $2\pi r^2$ plus Mantel $2\pi r h$ – oder kurz $2\pi r(r+h)$.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Umfang und Fläche eines Kreises mit $r=7\ \text{cm}$.
Sektorfläche für $r=10$, $\alpha=72^\circ$.
Volumen eines Zylinders mit $r=3$, $h=8$.

Ergebnisse (auf 2 Stellen)

a) $U=2\pi\cdot7\approx 43{,}98\ \text{cm}$; $A=\pi\cdot49\approx 153{,}94\ \text{cm}^2$.
b) $A=\tfrac{72}{360}\cdot\pi\cdot100 \approx 62{,}83$.
c) $V=\pi\cdot9\cdot8 \approx 226{,}19$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Radius statt Durchmesser: Ist $d$ gegeben, erst $r=\tfrac{d}{2}$ bilden. In $A=\pi r^2$ gehört der Radius.
In $\pi r^2$ wird nur $r$ quadriert, nicht $\pi$.
Die Oberfläche hat zwei Kreise, die Mantelfläche nur das Rechteck – nicht verwechseln.
Beim Sektor zuerst den Bruchteil $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ bilden.
Einheiten: Fläche in $\text{cm}^2/\text{m}^2$, Volumen in $\text{cm}^3/\text{m}^3$; für Liter gilt $1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}$, $1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}$.