Block 2

Lineare Funktionen & Gleichungssysteme

Geraden verstehen, aufstellen und miteinander schneiden – und was passiert, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig gelten sollen.

Eine lineare Funktion beschreibt alles, was gleichmäßig wächst oder fällt: ein Guthaben, das jeden Monat um denselben Betrag steigt, eine Kerze, die gleichmäßig abbrennt. Ihr Graph ist immer eine Gerade. Wir bauen das in vier Stufen auf – von der Geraden bis zu zwei Geraden gleichzeitig (dem Gleichungssystem).

✎ ohne Taschenrechner machbar Oberschule · Klasse 8
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Die lineare Funktion: y = m·x + n

Zwei Zahlen bestimmen die Gerade vollständig:
m ist die Steigung – wie steil die Gerade ist (positiv = steigend, negativ = fallend, 0 = waagerecht).
n ist der y-Achsenabschnitt – wo die Gerade die y-Achse schneidet (der Wert für $x=0$).
Lineare Funktion mit Steigungsdreieck
Hier ist $m=\tfrac12$ (2 nach rechts, 1 hoch) und $n=2$. Die Gleichung lautet $y=\tfrac12 x+2$.
2

Die Steigung bestimmen

ohne Rechner
Aus zwei Punkten $P(x_1\,|\,y_1)$ und $Q(x_2\,|\,y_2)$:
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Schritt nach rechts}}$
Beispiel · $P(1\,|\,2)$ und $Q(4\,|\,4)$
$m=\dfrac{4-2}{4-1}=\dfrac{2}{3}$.  Die Gerade steigt um 2 auf je 3 nach rechts.
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Eine Gerade aufstellen

Aus zwei Punkten
  1. Steigung $m$ aus den beiden Punkten berechnen (Stufe 2).
  2. Einen Punkt in $y=mx+n$ einsetzen und nach $n$ auflösen: $n=y-m\cdot x$.
  3. $m$ und $n$ in $y=mx+n$ einsetzen – fertig.
Beispiel · durch $A(2\,|\,1)$ und $B(4\,|\,5)$
m$m=\dfrac{5-1}{4-2}=2$.
nPunkt $A$ einsetzen: $1=2\cdot 2+n \Rightarrow n=-3$.
Gleichung$y=2x-3$.

Besondere Lagen und besondere Punkte

Parallel, senkrecht, Nullstelle
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Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Zwei Geraden, zwei Unbekannte $x$ und $y$ – und zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten sollen. Gesucht ist der Punkt, der auf beiden Geraden liegt: ihr Schnittpunkt.

Drei Rechenwege
  • Gleichsetzungsverfahren: beide nach $y$ auflösen und gleichsetzen.
  • Einsetzungsverfahren: eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen.
  • Additionsverfahren: die Gleichungen so addieren (oder subtrahieren), dass eine Variable wegfällt.
Beispiel · Additionsverfahren
System$\text{I}\;\;2x+y=7 \qquad \text{II}\;\;x-y=2$.
addieren$\text{I}+\text{II}:\;3x=9 \Rightarrow x=3$  (das $y$ fällt weg).
einsetzenin II: $3-y=2 \Rightarrow y=1$.
Lösung$(3\,|\,1)$.  Probe in I: $2\cdot3+1=7$ ✓.

Nicht jedes System hat genau eine Lösung – das hängt davon ab, wie die beiden Geraden zueinander liegen:

Drei Lösungsfälle: schneiden, parallel, identisch
Schneiden → genau eine Lösung. Parallel → keine Lösung. Identisch → unendlich viele Lösungen.

Anwendung: vom Text zum Gleichungssystem

Sobald zwei Unbekannte und zwei Bedingungen vorkommen, führt der Weg über ein LGS.

Aufgabe · Kinokasse

2 Erwachsene und 3 Kinder zahlen zusammen 32 €. 1 Erwachsener und 2 Kinder zahlen 18 €. Was kostet je eine Erwachsenen- und eine Kinderkarte?

Lösung · Einsetzungsverfahren
Schritt 1$E$ = Preis Erwachsener, $K$ = Preis Kind.
Schritt 2$\text{I}\;\;2E+3K=32 \qquad \text{II}\;\;E+2K=18$.
Schritt 3II nach $E$: $E=18-2K$, in I einsetzen: $2(18-2K)+3K=32 \Rightarrow 36-K=32 \Rightarrow K=4$.
Schritt 4$E=18-8=10$.  Eine Erwachsenenkarte kostet 10 €, eine Kinderkarte 4 €.  Probe: $2\cdot10+3\cdot4=32$ ✓.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Stelle die Geradengleichung durch $A(-1\,|\,4)$ und $B(2\,|\,-2)$ auf und bestimme ihre Nullstelle.

Hinweise – ohne fertige Lösung

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben
  1. Bestimme $m$ durch $P(0\,|\,-1)$ und $Q(3\,|\,5)$.
  2. Nullstelle von $y=3x-6$.
  3. Löse das LGS  $x+y=5$  und  $2x-y=1$.
Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es