Block 1

Lineare Gleichungen

Das hier ist das Handwerkszeug für fast jedes andere Thema: Immer wenn du „nach $x$ auflöst" oder eine Textaufgabe in Mathe übersetzt, brauchst du es.

Es baut aufeinander auf – erst Terme umformen, dann damit Gleichungen lösen, dann als Sachaufgabe anwenden. Genau in dieser Reihenfolge gehen wir vor.

1 · Terme umformen
→
2 · Gleichungen lösen
→
3 · Sachaufgaben
✎ ohne Taschenrechner machbar Oberschule · Klasse 8
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Terme umformen

ohne Rechner
Term oder Gleichung? Ein Term ist ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen, z. B. $3x+5$. Man kann ihn nur umformen (vereinfachen), nicht „lösen". Erst mit einem $=$ wird daraus eine Gleichung.
Die vier wichtigsten Umformungen
  • Ausmultiplizieren: $a(b+c)=ab+ac$.  Achtung beim Minus: $-(x-3)=-x+3$.
  • Ausklammern: $6x+9=3(2x+3)$ – der Rückweg.
  • Gleichartiges zusammenfassen: nur $x$ mit $x$, Zahlen mit Zahlen.
  • Binomische Formeln – die drei tauchen immer wieder auf:
1. binomische Formel$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. binomische Formel$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. binomische Formel$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
So vereinfachst du einen Term
  1. Klammern auflösen (ausmultiplizieren bzw. binomische Formel).
  2. Gleichartige Glieder zusammenfassen.
  3. Wenn möglich, wieder ausklammern.
Beispiel · $3(x+2)-(x-4)$
Schritt 1Klammern auflösen: $3x+6-x+4$  (das Minus dreht beide Vorzeichen in $(x-4)$)
Schritt 2zusammenfassen: $2x+10$.
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Gleichungen lösen

Die Idee: eine Gleichung ist eine Waage

Links und rechts vom $=$ steht dasselbe – wie zwei gleich schwere Waagschalen. Solange du auf beiden Seiten genau dasselbe tust (dieselbe Zahl addierst, beide durch dieselbe Zahl teilst …), bleibt die Waage im Gleichgewicht. Ziel ist, $x$ allein auf eine Seite zu bringen. Diese erlaubten Schritte schreibt man rechts hinter einem senkrechten Strich auf.

So gehst du vor
  1. Klammern auflösen und beide Seiten vereinfachen.
  2. Alle $x$ auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere (mit $+$ / $-$ auf beiden Seiten).
  3. Durch die Zahl vor dem $x$ teilen – dann steht $x$ allein.
Beispiel · $3(x+2)=x+10$
$3(x+2)=x+10$ausmultiplizieren
$3x+6=x+10$$-\,x$
$2x+6=10$$-\,6$
$2x=4$$:\,2$
$x=2$

Probe (Wert einsetzen, beide Seiten müssen gleich sein): links $3(2+2)=12$, rechts $2+10=12$. ✓

Kommen Brüche vor, multiplizierst du zuerst die ganze Gleichung mit dem Nenner – dann sind sie weg. Verschwindet beim Umformen das $x$ ganz, gibt es entweder keine Lösung (falsche Aussage wie $3=5$) oder unendlich viele (wahre Aussage wie $4=4$).

Anwendung: vom Text zur Gleichung

Sehr oft stecken diese Werkzeuge in einer Textaufgabe. Der Trick ist die Übersetzung:

So übersetzt du Text in Mathe
  1. Was ist gesucht? Dafür eine Variable $x$ benennen.
  2. Die Aussagen des Textes als Gleichung(en) schreiben.
  3. Lösen (Stufe 2).
  4. Antwortsatz schreiben und im Sachzusammenhang prüfen.
Aufgabe · Handwerkerrechnung

Ein Handwerker berechnet 45 € Anfahrt und zusätzlich 35 € pro Stunde. Die Rechnung beträgt 185 €. Wie viele Stunden hat er gearbeitet?

Lösung
Schritt 1$x$ = Anzahl der Arbeitsstunden.
Schritt 2$45 + 35x = 185$.
Schritt 3$-45 \Rightarrow 35x = 140$,  dann $:35 \Rightarrow x = 4$.
Schritt 4Er hat 4 Stunden gearbeitet.  Probe: $45+35\cdot4 = 185$ ✓.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Löse die Gleichung  $4x-3=2(x+5)$.

Hinweise – ohne fertige Lösung

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben
  1. Vereinfache $2(x+3)-4(x-1)$.
  2. Löse $3x-7=x+5$.
  3. Löse $2(x-1)=x+4$.
Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es