Block 4

Elemente der Stochastik

Daten auswerten: zählen, Anteile bestimmen, in Diagrammen darstellen – und aus Versuchen Wahrscheinlichkeiten schätzen.

Ob Umfrage in der Klasse oder Würfelversuch: Aus vielen Einzeldaten macht man wenige aussagekräftige Zahlen. Wir klären Häufigkeiten, den Durchschnitt, die Darstellung im Diagramm und den ersten Blick auf Wahrscheinlichkeiten.

✎ oft ohne Taschenrechner Oberschule · Klasse 7

Absolute und relative Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl, wie oft etwas vorkommt.
Die relative Häufigkeit setzt das ins Verhältnis zur Gesamtzahl: $\dfrac{k}{n}$ – als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent.

Beispiel

Von 20 Kindern trinken 5 am liebsten Saft. Absolut: $5$. Relativ: $\tfrac{5}{20}=0{,}25=25\,\%$.

Arithmetisches Mittel (Durchschnitt)

$\bar{x}=\dfrac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$

Beispiel · Noten $2,\,3,\,1,\,4,\,5$

$\bar{x}=\dfrac{2+3+1+4+5}{5}=\dfrac{15}{5}=\mathbf{3}$.

Diagramme: Säulen und Kreis

Ein Säulendiagramm zeigt die Häufigkeiten direkt als Höhen. Ein Kreisdiagramm zeigt Anteile am Ganzen: Jeder Anteil bekommt einen Mittelpunktswinkel.

$\text{Winkel} = \text{Anteil} \cdot 360^\circ = \dfrac{k}{n}\cdot 360^\circ$

Säulendiagramm und Kreisdiagramm — Dieselben Daten, zwei Darstellungen. Im Kreisdiagramm entspricht 25 % einem Winkel von 90°.

Beispiel · Winkel im Kreisdiagramm

Saft: $\tfrac{5}{20}\cdot 360^\circ = 0{,}25\cdot 360^\circ=\mathbf{90^\circ}$.

Wahrscheinlichkeit schätzen

Je öfter man einen Zufallsversuch macht, desto besser schätzt die relative Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit.
Sind alle Ausgänge gleich wahrscheinlich (Laplace), rechnet man direkt: $P=\dfrac{\text{günstige}}{\text{möglichen}}$.

Beispiel

Ein Würfel: $P(\text{eine 6})=\tfrac{1}{6}\approx 0{,}17$. $P(\text{gerade Zahl})=\tfrac{3}{6}=0{,}5$.

Leitaufgabe: die Haustier-Umfrage

Aufgabe

In einer Klasse mit 20 Kindern wurde die Anzahl der Haustiere erfasst: 6 Kinder haben 0, 8 Kinder haben 1, 4 Kinder haben 2 und 2 Kinder haben 3 Haustiere.

Wie groß ist die relative Häufigkeit „genau 1 Haustier"?
Welcher Kreisdiagramm-Winkel gehört dazu?
Wie viele Haustiere hat ein Kind im Durchschnitt?

Lösung

1$\tfrac{8}{20}=0{,}4=40\,\%$.

2$0{,}4\cdot 360^\circ=\mathbf{144^\circ}$.

3$\bar{x}=\dfrac{0\cdot 6+1\cdot 8+2\cdot 4+3\cdot 2}{20}=\dfrac{22}{20}=\mathbf{1{,}1}$ Haustiere.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Von 25 Würfen zeigt der Würfel 5-mal die Sechs. Bestimme die relative Häufigkeit (als Prozent) und schätze damit die Wahrscheinlichkeit. Vergleiche mit dem Laplace-Wert.

Hinweise

Relative Häufigkeit: $\tfrac{5}{25}$, dann in Prozent.
Laplace-Wert für eine Sechs: $\tfrac{1}{6}\approx 16{,}7\,\%$.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Mittelwert von $4,\,7,\,7,\,2,\,5$.
Kreisdiagramm-Winkel für einen Anteil von $30\,\%$.
Ein Glücksrad hat 10 gleiche Felder, 3 sind rot. $P(\text{rot})$ als Dezimalzahl?

Ergebnisse

a) $\tfrac{25}{5}=5$.
b) $0{,}30\cdot 360^\circ=108^\circ$.
c) $\tfrac{3}{10}=0{,}3$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Absolut ≠ relativ: absolut ist die Anzahl, relativ ist der Anteil ($\tfrac{k}{n}$).
Beim Kreisdiagramm den Anteil mit $360^\circ$ multiplizieren – alle Winkel ergeben zusammen $360^\circ$.
Die relative Häufigkeit (gemessen) ist nur eine Schätzung der Wahrscheinlichkeit – sie stimmt erst bei vielen Versuchen gut überein.
Beim Mittelwert alle Werte addieren, auch mehrfach vorkommende.