Block 3

Vielecke & Prismen

Flächen von Dreiecken und Vierecken berechnen – und daraus Körper aufbauen, die überall im Alltag stecken.

Ein Zelt, ein Verkehrsschild, eine Schokoladenpackung: All das sind Vielecke oder Prismen. Wir klären zuerst die Winkelsummen, dann die Flächenformeln der wichtigsten Vierecke und bauen daraus die geraden Prismen.

✎ mit Formelsammlung Oberschule · Klasse 7

Winkelsummen

Im Dreieck ergeben die Innenwinkel zusammen immer $180^\circ$.
Im Viereck sind es $360^\circ$.
Allgemein im n-Eck: $(n-2)\cdot 180^\circ$.

Beispiel · fehlender Winkel im Dreieck

$\alpha=50^\circ$, $\beta=70^\circ$ → $\gamma=180^\circ-50^\circ-70^\circ=\mathbf{60^\circ}$.

Flächeninhalte der Vielecke

Flächenformeln von Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Raute — Die Höhe $h$ steht immer **senkrecht** auf der Grundseite.

Beispiele

Dreieck$g=6$, $h=4$: $A=\tfrac12\cdot 6\cdot 4=\mathbf{12}$.

Trapez$a=8$, $c=4$, $h=5$: $A=\tfrac12\cdot(8+4)\cdot 5=\mathbf{30}$.

Raute$e=6$, $f=8$: $A=\tfrac12\cdot 6\cdot 8=\mathbf{24}$.

Zusammengesetzte Figuren

Krumme Figuren in bekannte Teilflächen zerlegen (z. B. Rechteck + Dreieck), die Teilflächen einzeln berechnen und addieren.

Gerade Prismen

Ein Prisma entsteht, wenn man ein Vieleck (die Grundfläche) gerade in die Höhe zieht. Grund- und Deckfläche sind gleich; die Seitenflächen bilden den Mantel.

Dreieckiges Prisma mit Volumenformel — Das Volumen ist immer Grundfläche mal Höhe.

$V = G\cdot h \qquad O = 2\cdot G + M \qquad M = U_{\text{Grundfläche}}\cdot h$

Beispiel · dreieckiges Prisma

Grundfläche $G=\tfrac12\cdot 6\cdot 4=12\ \text{cm}^2$, Höhe $h=10\ \text{cm}$.

Volumen$V=12\cdot 10=\mathbf{120\ \text{cm}^3}$.

Masse

Aus dem Volumen und der Dichte $\rho$ folgt die Masse: $m=\rho\cdot V$. Beispiel: $120\ \text{cm}^3$ Aluminium ($\rho=2{,}7\ \tfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$) wiegen $2{,}7\cdot 120=324\ \text{g}$.

Leitaufgabe: das Zelt

Aufgabe

Ein Zelt hat einen dreieckigen Querschnitt: Grundseite $2\ \text{m}$, Höhe $1{,}5\ \text{m}$, Schrägseiten je $1{,}8\ \text{m}$. Das Zelt ist $4\ \text{m}$ lang. Berechne den Luftraum (Volumen), die Bodenfläche und die Fläche der beiden schrägen Zeltwände.

Lösung

GrundflächeDreieck: $G=\tfrac12\cdot 2\cdot 1{,}5=1{,}5\ \text{m}^2$.

Volumen$V=G\cdot L=1{,}5\cdot 4=\mathbf{6\ \text{m}^3}$.

BodenRechteck $2\cdot 4=\mathbf{8\ \text{m}^2}$.

Zeltwändezwei Rechtecke $2\cdot(1{,}8\cdot 4)=\mathbf{14{,}4\ \text{m}^2}$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Ein Prisma hat als Grundfläche ein Trapez ($a=6\ \text{cm}$, $c=4\ \text{cm}$, $h=3\ \text{cm}$) und ist $10\ \text{cm}$ lang. Berechne Grundfläche und Volumen.

Hinweise

Erst die Trapezfläche: $\tfrac12\cdot(a+c)\cdot h$.
Dann Volumen: Grundfläche mal Länge des Prismas.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Fehlender Winkel im Viereck: $\alpha=90^\circ$, $\beta=100^\circ$, $\gamma=80^\circ$. Wie groß ist $\delta$?
Parallelogramm $g=9\ \text{cm}$, $h=4\ \text{cm}$. Fläche?
Prisma mit Grundfläche $G=15\ \text{cm}^2$, Höhe $8\ \text{cm}$. Volumen?

Ergebnisse

a) $\delta=360^\circ-90^\circ-100^\circ-80^\circ=90^\circ$.
b) $A=9\cdot 4=36\ \text{cm}^2$.
c) $V=15\cdot 8=120\ \text{cm}^3$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite – nicht die schräge Seite verwenden.
Beim Dreieck und Trapez das $\tfrac12$ nicht vergessen.
Grundfläche ≠ Oberfläche: das Volumen braucht die Grundfläche, die Oberfläche zusätzlich den Mantel.
Einheiten: Fläche in $\text{cm}^2$, Volumen in $\text{cm}^3$; für Liter gilt $1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}$.