Block 2

Prozent- & Zinsrechnung

Prozente stecken in fast jedem Alltagsbetrag: im Rabatt an der Kasse, in der Mehrwertsteuer, in den Zinsen fürs Ersparte oder einen Kredit, im Wachsen eines Guthabens durch Zinsen.

Dahinter steckt eine einzige kleine Idee – und die zieht sich durch den ganzen Block:

Der rote Faden: Ein Prozentsatz ist nichts anderes als ein Faktor, mit dem man multipliziert. Alles Weitere – Erhöhen, Vermindern, Zinsen, Zinseszins – ist derselbe Faktor, nur ein- oder mehrmals angewandt.
✎ ohne Taschenrechner machbar Oberschule · Klasse 7
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Prozentrechnung – die Grundlage

oft ohne Rechner
Drei Größen, eine Beziehung

Der Grundwert $G$ ist das Ganze (100 %). Der Prozentwert $W$ ist der Anteil davon. Der Prozentsatz $p$ sagt, wie groß der Anteil ist. Sie hängen so zusammen:

$$W = G \cdot \frac{p}{100}$$

Je nachdem, welche der drei Größen fehlt, stellt man diese eine Gleichung um.

Prozentwert gesucht
$W=G\cdot\dfrac{p}{100}$
20 % von 150:  $150\cdot0{,}2=30$.
Grundwert gesucht
$G=\dfrac{W}{p}\cdot 100$
30 sind 20 %:  $\dfrac{30}{0{,}2}=150$.
Prozentsatz gesucht
$\dfrac{p}{100}=\dfrac{W}{G}$
30 von 150:  $\dfrac{30}{150}=0{,}2=20$ %.
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Erhöhen & Vermindern mit dem Faktor

Der Trick: nicht erst rechnen, dann addieren – sondern gleich den Faktor nehmen

Wer einen Wert um $p$ Prozent erhöht, multipliziert mit $\left(1+\frac{p}{100}\right)$; wer ihn vermindert, mit $\left(1-\frac{p}{100}\right)$. Ein Schritt statt zwei:

um 19 % erhöhen (z. B. Mehrwertsteuer)⟶· 1,19
um 25 % vermindern (z. B. Rabatt)⟶· 0,75
Beispiele
Eine Jacke für 80 € mit 25 % Rabatt:  $80\cdot0{,}75=60$  → neuer Preis 60 €.
200 € netto plus 19 % Mehrwertsteuer:  $200\cdot1{,}19=238$  → Bruttopreis 238 €.
Die häufigste Falle: rückwärts rechnen

Ein Preis mit 19 % Mehrwertsteuer beträgt 238 €. Wie hoch war der Nettopreis?  Nicht $238\cdot0{,}81$! Der Bruttopreis ist ja $\text{netto}\cdot1{,}19$, also rechnet man zurück durch Teilen:

$238 : 1{,}19 = 200$  (€ netto)
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Zinsen

Zinsen sind angewandte Prozentrechnung

Legt man ein Kapital $K$ zum Zinssatz $p$ an, bekommt man pro Jahr die Zinsen $Z$ – das ist einfach $p$ Prozent von $K$:

$$Z = K \cdot \frac{p}{100}$$

Für einen Teil des Jahres nimmt man den entsprechenden Bruchteil, z. B. $\frac{m}{12}$ für $m$ Monate.

Beispiel
2000 € zu 3 % für ein Jahr:  $Z=2000\cdot0{,}03=60$  → 60 € Zinsen.
Dieselbe Anlage, aber nur 8 Monate:  $60\cdot\dfrac{8}{12}=40$  → 40 € Zinsen.
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Zinseszins (mehrjährige Verzinsung)

Zinsen auf die Zinsen

Bleiben die Zinsen auf dem Konto, bekommt man im nächsten Jahr auch auf die Zinsen Zinsen. Zwei Wege führen zum Ziel:

  • Jahr für Jahr: jedes Jahr die Zinsen ausrechnen und dazuzählen.
  • Mit dem Faktor: jedes Jahr mal $q=1+\frac{p}{100}$; nach $n$ Jahren $n$-mal: $K_n=K_0\cdot q^{\,n}$.
Beispiel · 1000 € zu 5 %, Jahr für Jahr
Jahr 1Zinsen $1000\cdot 0{,}05=50$ €  →  $1050$ €.
Jahr 2Zinsen $1050\cdot 0{,}05=52{,}50$ €  →  $1102{,}50$ €.
kurzoder direkt $1000\cdot 1{,}05^{2}=1102{,}50$ €.  Nach 3 Jahren: $1000\cdot 1{,}05^{3}\approx 1157{,}63$ €.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe · der Fernseher

Ein Fernseher wird um 20 % reduziert und kostet danach 360 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?

Hinweise – ohne fertige Lösung

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben
  1. Wie viel sind 12 % von 250 €?
  2. Ein Pullover kostet nach 30 % Rabatt noch 42 €. Wie teuer war er vorher?
  3. 1500 € werden 4 Jahre lang mit 2 % pro Jahr verzinst (Zinseszins). Endkapital?
Ergebnisse (Ansatz, ohne alle Zwischenschritte)

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es