Block 1

Rationale Zahlen & Gleichungen

Rechnen mit negativen Zahlen sicher beherrschen – und mit Termen und einfachen Gleichungen die ersten „Buchstaben-Rechnungen" lösen.

Sobald Schulden, Temperaturen unter null oder Höhen unter dem Meeresspiegel vorkommen, reichen die positiven Zahlen nicht mehr. Wir erweitern auf die rationalen Zahlen, klären die Vorzeichenregeln und wenden sie dann in Termen und Gleichungen an.

✎ ohne Taschenrechner machbar Oberschule · Klasse 7

Zahlen an der Zahlengerade

Zahlengerade mit negativen Zahlen, Betrag und Gegenzahl — Je weiter rechts, desto größer. Der **Betrag** ist der Abstand zur 0, die **Gegenzahl** liegt spiegelbildlich.

Vorzeichen (+/−) sagt, ob eine Zahl über oder unter 0 liegt – nicht zu verwechseln mit dem Rechenzeichen.
Betrag $|a|$: der Abstand zur 0, immer $\ge 0$. Beispiel $|-4|=4$.
Gegenzahl: dieselbe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen. Gegenzahl von $-3$ ist $+3$.
Ordnen: $-6 < -3 < 0 < 2 < 5$. Achtung: $-6$ ist kleiner als $-3$.

Addieren und Subtrahieren

Guthaben-und-Schulden-Modell

Plus heißt „dazu", Minus heißt „weg".
Zwei Minuszeichen nebeneinander werden zu Plus: $5-(-3)=5+3=8$.
Verschiedene Vorzeichen: den kleineren Betrag vom größeren abziehen, Vorzeichen der „größeren" Zahl übernehmen: $(+2)+(-7)=-5$.

Multiplizieren und Dividieren – die Vorzeichenregel

Erst die Beträge multiplizieren (oder dividieren), dann das Vorzeichen bestimmen:

Rechnung	Vorzeichen	Beispiel
$+ \;\cdot\; +$	$+$	$3\cdot 4=12$
$- \;\cdot\; -$	$+$	$(-3)\cdot(-4)=12$
$+ \;\cdot\; -$	$-$	$3\cdot(-4)=-12$
$- \;\cdot\; +$	$-$	$(-3)\cdot 4=-12$

Merksatz

Gleiche Vorzeichen → Plus, verschiedene Vorzeichen → Minus. Für Division gilt dieselbe Regel.

Vorrang- und Klammerregeln

Reihenfolge

Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich ($\cdot,:$ vor $+,-$).
Ein Minus vor einer Klammer dreht beim Auflösen alle Vorzeichen: $-(4-7)=-4+7=3$.

Terme

Ein Term ist eine Rechenvorschrift mit Zahlen und Variablen, z. B. $3x-5$. Den Termwert erhält man, indem man für die Variable eine Zahl einsetzt.

Beispiel · Termwert von $3x-5$ für $x=-2$

$3\cdot(-2)-5=-6-5=\mathbf{-11}$.

Beispiel · Zusammenfassen

$4x-7+2x+3 = (4x+2x)+(-7+3)=\mathbf{6x-4}$.

Einfache Gleichungen lösen

So gehst du vor

Auf beiden Seiten dieselbe Rechnung ausführen (Äquivalenzumformung).
Erst die Zahl neben dem $x$ „wegräumen" ($+$/$-$), dann durch die Zahl vor dem $x$ teilen.
Probe: Lösung einsetzen.

Beispiel · $3x-5=7$

+5$3x=12$.

:3$x=4$. Probe: $3\cdot 4-5=7$ ✓.

Leitaufgabe: die Wetterwoche

Aufgabe

An fünf Tagen wurden die Tiefsttemperaturen gemessen: $-4\,°\text{C}$, $2\,°\text{C}$, $-1\,°\text{C}$, $-6\,°\text{C}$, $3\,°\text{C}$. Bestimme die Spannweite und die Durchschnittstemperatur.

Lösung

SpannweiteMaximum $3$ − Minimum $(-6)$ = $3-(-6)=\mathbf{9\,°\text{C}}$.

Mittel$\dfrac{-4+2-1-6+3}{5}=\dfrac{-6}{5}=\mathbf{-1{,}2\,°\text{C}}$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Berechne $-3\cdot(4-9)$ und löse die Gleichung $2x+7=-3$.

Hinweise

Erst die Klammer: $4-9=-5$. Dann $-3\cdot(-5)$ – gleiche Vorzeichen → Plus.
Gleichung: erst $-7$ auf beiden Seiten, dann $:2$. Das Ergebnis ist negativ.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

$-8+5-(-4)$
$(-6)\cdot 3 : (-2)$
Termwert von $-2x+4$ für $x=-3$
Löse $5x+8=-7$

Ergebnisse

a) $-8+5+4=1$.
b) $(-18):(-2)=9$.
c) $-2\cdot(-3)+4=6+4=10$.
d) $5x=-15 \Rightarrow x=-3$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Minus vor Klammer dreht alle Vorzeichen: $-(a-b)=-a+b$.
$-(-x)=+x$: zwei Minuszeichen heben sich auf.
Betrag ist nie negativ: $|-5|=5$.
Bei $-6$ und $-3$: $-6$ ist kleiner (liegt weiter links).
Beim Lösen von Gleichungen auf beiden Seiten dasselbe tun – und die Probe machen.