Block 4
Geometrische Körper
Quader und Würfel: erkennen, aufklappen (Netz), räumlich zeichnen (Schrägbild) – und Oberfläche wie Volumen berechnen.
Umzugskartons, Aquarien, Würfelzucker: Der Quader ist der wichtigste Körper im Alltag. Wir schauen uns seinen Bau an und lernen, wie viel hineinpasst (Volumen) und wie viel man zum Einpacken braucht (Oberfläche).
✎ mit Formelsammlung
Oberschule · Klasse 6
1
Körper, Netz und Schrägbild
Das Netz ist der aufgeklappte Körper (alle Flächen in einer Ebene). Das Schrägbild zeigt ihn räumlich: nach hinten laufende Kanten werden im 45°-Winkel und um die Hälfte verkürzt gezeichnet.
2
Oberfläche
Die Oberfläche ist die Summe aller Außenflächen (in cm², m² …). Beim Quader gibt es 3 Paare gleicher Rechtecke.
Quader: $O = 2\cdot(a\cdot b + a\cdot c + b\cdot c)$ Würfel: $O = 6\cdot a^2$
Beispiel · $a=5$, $b=3$, $c=4$ (cm)
$O = 2\cdot(5\cdot 3 + 5\cdot 4 + 3\cdot 4) = 2\cdot(15+20+12)=2\cdot 47=\mathbf{94\ \text{cm}^2}$.
3
Volumen
Das Volumen gibt an, wie viel hineinpasst (in cm³, m³, Liter …).
Quader: $V = a\cdot b\cdot c$ Würfel: $V = a^3$
Beispiel · $a=5$, $b=3$, $c=4$ (cm)
$V = 5\cdot 3\cdot 4 = \mathbf{60\ \text{cm}^3}$.
Volumeneinheiten
- $1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{Liter}$.
- $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{Liter}$.
- Zwischen den Volumeneinheiten geht es in 1000er-Schritten (nicht 10er wie bei Längen).
Leitaufgabe: das Aquarium
Aufgabe
Ein Aquarium ist innen $40\ \text{cm}$ lang, $30\ \text{cm}$ breit und $25\ \text{cm}$ hoch. Berechne sein Fassungsvermögen in Litern und die benötigte Glasfläche (Boden und 4 Wände, ohne Deckel).
Lösung
Volumen$V=40\cdot 30\cdot 25 = 30\,000\ \text{cm}^3 = \mathbf{30\ \text{Liter}}$.
GlasBoden $40\cdot 30=1200$; 2 Seiten $2\cdot(40\cdot 25)=2000$; 2 Seiten $2\cdot(30\cdot 25)=1500$. Summe $=\mathbf{4700\ \text{cm}^2}$.
Übung mit Hinweisen
Aufgabe
Ein Würfel hat die Kantenlänge $6\ \text{cm}$. Berechne Volumen und Oberfläche.
Hinweise
- Volumen: $a^3 = 6\cdot 6\cdot 6$.
- Oberfläche: $6\cdot a^2 = 6\cdot 36$.
Übung mit Lösungen zum Abgleich
Aufgaben
- Volumen eines Quaders mit $a=8$, $b=5$, $c=2$ (cm).
- Oberfläche desselben Quaders.
- Wie viele Liter sind $3500\ \text{cm}^3$?
Ergebnisse
- a) $V=8\cdot 5\cdot 2=80\ \text{cm}^3$.
- b) $O=2\cdot(40+16+10)=2\cdot 66=132\ \text{cm}^2$.
- c) $3500\ \text{cm}^3 = 3{,}5\ \text{Liter}$.
Typische Stolperfallen
Daran denken – dann läuft es
- Volumen ≠ Oberfläche: Volumen in cm³ (was hineinpasst), Oberfläche in cm² (was man einpackt).
- Bei der Oberfläche alle 6 Flächen zählen – der Faktor $2$ bzw. $6$ ist wichtig.
- Volumeneinheiten in 1000er-Schritten umrechnen: $1\ \text{L}=1000\ \text{cm}^3$.
- Alle Maße in derselben Einheit, bevor man rechnet.