Block 3

Geometrie in der Ebene

Winkel messen, benennen und berechnen – ohne jeden Winkel einzeln nachzumessen.

Wo sich Geraden kreuzen, entstehen Winkel in festen Beziehungen zueinander. Kennt man einen, kann man viele andere ausrechnen. Wir schauen uns die Winkelarten an, dann die Sätze an Kreuzungen und Parallelen und schließlich die Winkelsumme im Dreieck.

✎ mit Geodreieck Oberschule · Klasse 6

Winkelarten

Winkel werden in Grad (°) gemessen, mit dem Geodreieck. Der Scheitel ist die Spitze, die beiden Seiten heißen Schenkel.

Winkel an Geradenkreuzungen

Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergänzen sich zu $180^\circ$: $\;\beta = 180^\circ - \alpha$.
Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.

Beispiel

Ist $\alpha = 110^\circ$, dann ist der Nebenwinkel $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ und der Scheitelwinkel $110^\circ$.

Winkel an geschnittenen Parallelen

Werden zwei parallele Geraden von einer dritten geschnitten, wiederholen sich die Winkel an beiden Kreuzungen:

Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen — An parallelen Geraden sind Stufen- und Wechselwinkel gleich groß.

Stufenwinkel (F-Winkel): gleiche Position an beiden Kreuzungen → gleich groß.
Wechselwinkel (Z-Winkel): über Kreuz an beiden Kreuzungen → gleich groß.

Winkelsumme und Dreiecke

Im Dreieck ist die Summe der Innenwinkel immer $180^\circ$, im Viereck $360^\circ$.

Beispiel

$\alpha=50^\circ$, $\beta=60^\circ$ → $\gamma = 180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$.

Dreiecke einteilen

Nach Seiten: gleichseitig (alle gleich), gleichschenklig (zwei gleich), ungleichseitig.
Nach Winkeln: spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig.
Kongruent (deckungsgleich) sind Dreiecke, die in bestimmten Stücken übereinstimmen – die Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SsW sagen, welche Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen.

Leitaufgabe: Winkel an Parallelen bestimmen

Aufgabe

Zwei parallele Geraden werden von einer dritten geschnitten. An der oberen Kreuzung ist ein Winkel $\alpha = 70^\circ$. Bestimme seinen Nebenwinkel, seinen Scheitelwinkel und den zugehörigen Stufenwinkel an der unteren Kreuzung.

Lösung

Neben$180^\circ-70^\circ=110^\circ$.

Scheitelgleich groß: $70^\circ$.

Stufenan der Parallele gleich: $70^\circ$.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

In einem Dreieck sind $\alpha = 42^\circ$ und $\beta = 88^\circ$. Berechne $\gamma$ und den Nebenwinkel von $\gamma$ (den Außenwinkel).

Hinweise

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.
Der Außenwinkel ist der Nebenwinkel: $180^\circ - \gamma$.

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Nebenwinkel von $125^\circ$.
Dreieck: $\alpha=90^\circ$, $\beta=35^\circ$. Wie groß ist $\gamma$?
Viereck: drei Winkel $70^\circ, 110^\circ, 100^\circ$. Wie groß ist der vierte?

Ergebnisse

a) $180^\circ-125^\circ=55^\circ$.
b) $180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
c) $360^\circ-70^\circ-110^\circ-100^\circ=80^\circ$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Nebenwinkel ergänzen zu $180^\circ$, Scheitelwinkel sind gleich – nicht verwechseln.
Stufen- und Wechselwinkel sind nur an parallelen Geraden gleich groß.
Im Dreieck ergeben die Innenwinkel $180^\circ$ – ist die Summe größer, steckt ein Fehler drin.
Winkel immer sauber mit dem Geodreieck ablesen: die richtige Skala (innen/außen) verwenden.