Block 2
Zuordnungen
Zwei Größen hängen zusammen – und mit dem Dreisatz rechnet man fehlende Werte aus.
Menge und Preis, Geschwindigkeit und Zeit, Arbeiter und Dauer: Solche Paare bilden eine Zuordnung. Besonders wichtig sind zwei Sorten – die proportionale („je mehr, desto mehr") und die antiproportionale („je mehr, desto weniger").
✎ ohne Taschenrechner machbar
Oberschule · Klasse 6
1
Proportionale Zuordnung
Je mehr, desto mehr – und zwar im gleichen Verhältnis (doppelt so viel → doppelter Preis).
Kennzeichen: Quotientengleichheit $\dfrac{y}{x}=k$ (immer derselbe Wert, der Proportionalitätsfaktor $k$). Es gilt $y=k\cdot x$.
Kennzeichen: Quotientengleichheit $\dfrac{y}{x}=k$ (immer derselbe Wert, der Proportionalitätsfaktor $k$). Es gilt $y=k\cdot x$.
Beispiel
3 kg Äpfel kosten 6 €. $k=\dfrac{6}{3}=2$ (€ pro kg). 5 kg kosten $5\cdot 2=\mathbf{10}$ €.
2
Antiproportionale Zuordnung
Je mehr, desto weniger (doppelt so viele Arbeiter → halbe Zeit).
Kennzeichen: Produktgleichheit $x\cdot y=k$ (das Produkt ist immer gleich).
Kennzeichen: Produktgleichheit $x\cdot y=k$ (das Produkt ist immer gleich).
Beispiel
6 Arbeiter brauchen 8 Tage. $k=6\cdot 8=48$. Mit 4 Arbeitern: $y=\dfrac{48}{4}=\mathbf{12}$ Tage.
3
Der Dreisatz
In drei Schritten
- Erst entscheiden: proportional oder antiproportional? („je mehr, desto mehr" oder „weniger"?)
- Auf 1 heruntergehen (der Wert für eine Einheit).
- Auf die gesuchte Menge hochgehen. Bei proportional wird beim Runtergehen geteilt und beim Hochgehen malgenommen; bei antiproportional ist es umgekehrt.
Beispiel · proportional
4 Hefte kosten 3,20 €. 1 Heft: $3{,}20:4=0{,}80$ €. 7 Hefte: $7\cdot 0{,}80=\mathbf{5{,}60}$ €.
Beispiel · antiproportional
3 Pumpen füllen ein Becken in 8 h. 1 Pumpe: $3\cdot 8=24$ h. 6 Pumpen: $24:6=\mathbf{4}$ h.
Leitaufgabe: der Ausflug
Aufgabe
Für einen Ausflug gilt: 5 Brötchen kosten 4 €. Und: 4 Betreuer schaffen die Vorbereitung in 6 Stunden.
- Was kosten 8 Brötchen?
- Wie lange brauchen 3 Betreuer für dieselbe Vorbereitung?
Lösung
Brötchenproportional: 1 Brötchen $4:5=0{,}80$ €, 8 Brötchen $8\cdot 0{,}80=\mathbf{6{,}40}$ €.
Betreuerantiproportional: $k=4\cdot 6=24$, 3 Betreuer $24:3=\mathbf{8}$ Stunden.
Übung mit Hinweisen
Aufgabe
6 gleiche Bagger heben eine Grube in 10 Stunden aus. Wie lange brauchen 4 Bagger? Und: 2 kg Kirschen kosten 7 € – was kosten 5 kg?
Hinweise
- Bagger–Zeit: „je mehr, desto weniger" → antiproportional. Produkt $6\cdot 10$ bleibt gleich.
- Kirschen–Preis: „je mehr, desto mehr" → proportional. Erst der Preis für 1 kg.
Übung mit Lösungen zum Abgleich
Aufgaben
- Proportionalitätsfaktor $k$, wenn 4 kg 10 € kosten.
- Proportional: 3 m Stoff kosten 12 €. Was kosten 7 m?
- Antiproportional: 8 Personen essen einen Vorrat in 6 Tagen. Wie lange reicht er für 12 Personen?
Ergebnisse
- a) $k=\dfrac{10}{4}=2{,}5$ (€ pro kg).
- b) 1 m: $12:3=4$ €, 7 m: $7\cdot 4=28$ €.
- c) $k=8\cdot 6=48$, $48:12=4$ Tage.
Typische Stolperfallen
Daran denken – dann läuft es
- Erst die Art bestimmen – proportional oder antiproportional? Sonst rechnet man falsch herum.
- Proportional: Quotient $\tfrac{y}{x}$ gleich. Antiproportional: Produkt $x\cdot y$ gleich.
- Bei antiproportional beim Hochgehen (mehr) wird die zugeordnete Größe kleiner.
- Nicht jede Zuordnung ist proportional oder antiproportional (z. B. Alter → Körpergröße).