Block 1

Gebrochene Zahlen

Mit Brüchen und Dezimalzahlen rechnen – vom Kürzen über das Addieren bis zum Umwandeln zwischen beiden Schreibweisen.

Ein halber Kuchen, ein Viertel Liter, drei Achtel Meter: Brüche beschreiben Teile eines Ganzen. Wir schauen sie uns zuerst an, lernen die vier Grundrechenarten mit Brüchen und wechseln dann zur Dezimalschreibweise.

✎ ohne Taschenrechner machbar Oberschule · Klasse 6

Brüche verstehen, kürzen, erweitern

Ein Bruch $\dfrac{z}{n}$ besteht aus dem Zähler $z$ (wie viele Teile) und dem Nenner $n$ (in wie viele Teile das Ganze geteilt ist).

Bruchstreifen — Verschieden geschriebene Brüche können gleich groß sein.

Kürzen und Erweitern

Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. $\dfrac{6}{8}=\dfrac{6:2}{8:2}=\dfrac{3}{4}$.
Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen. $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{8}{12}$.
Vergleichen: auf denselben Nenner bringen, dann die Zähler vergleichen.

Addieren und Subtrahieren

So gehst du vor

Gleicher Nenner: nur die Zähler addieren (bzw. subtrahieren), Nenner bleibt. $\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{7}$.
Verschiedene Nenner: erst auf den Hauptnenner (kgV) erweitern, dann rechnen.
Am Ende so weit wie möglich kürzen.

Beispiel · $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$

Hauptnenner 6: $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$.

Multiplizieren und Dividieren

Regeln

Malnehmen: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. (Vorher kürzen spart Arbeit.) $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
Teilen: mit dem Kehrwert malnehmen. $\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{1}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$.

Dezimalbrüche

Umwandeln und Rechnen

Bruch → Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen. $\dfrac{3}{4}=3:4=0{,}75$.
Dezimalzahl → Bruch: über den Stellenwert. $0{,}6=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$.
Runden: auf die gewünschte Stelle, Nachbarziffer entscheidet. $3{,}478\approx 3{,}48$ (Hundertstel).
Beim Addieren/Subtrahieren Komma unter Komma; beim Malnehmen Nachkommastellen zählen.

Arithmetisches Mittel

Der Durchschnitt: alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Beispiel $\dfrac{2+3+4}{3}=3$.

Leitaufgabe: backen mit Brüchen

Aufgabe

Für einen Kuchen braucht man $\dfrac{3}{4}$ Liter Milch. Wie viel Milch braucht man für 3 Kuchen – als Bruch und in Litern (Dezimalzahl)? Und wie viel Mehl bleibt übrig, wenn man von $\dfrac{7}{8}$ kg genau $\dfrac{1}{4}$ kg verbraucht?

Lösung

Milch$3\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$ Liter $=2{,}25$ Liter.

Mehl$\dfrac{7}{8}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{8}-\dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{8}$ kg bleiben übrig.

Übung mit Hinweisen

Aufgabe

Berechne $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}$ und kürze das Ergebnis. Wandle außerdem $\dfrac{2}{5}$ in eine Dezimalzahl um.

Hinweise

Hauptnenner von 3 und 6 ist 6. Erweitere $\dfrac{2}{3}$ auf Sechstel.
$\dfrac{2}{5}$: Zähler durch Nenner teilen ($2:5$).

Übung mit Lösungen zum Abgleich

Aufgaben

Kürze $\dfrac{12}{18}$.
$\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{5}$
Wandle $0{,}8$ in einen gekürzten Bruch um.

Ergebnisse

a) $\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$ (durch 6).
b) $\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{4}$.
c) $\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$.
d) $0{,}8=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$.

Typische Stolperfallen

Daran denken – dann läuft es

Beim Addieren von Brüchen nicht die Nenner addieren – erst gleichnamig machen.
Beim Malnehmen braucht man keinen Hauptnenner (nur beim Plus/Minus).
Dividieren heißt: mit dem Kehrwert malnehmen.
Ergebnis immer vollständig kürzen.
Bei Dezimalzahlen das Komma sauber untereinander setzen.